Идеал полугруппы (N;ygl hklrijrhhd)

Идеал полугруппы — подмножество $I$ полугруппы $S$, которое замкнуто относительно умножения на элементы из $S$, где под умножением понимается алгебраическая операция над полугруппой.

Определение

Непустое подмножество $I$ полугруппы $S$ называется левым идеалом $S$, если: $SI\subset I$, где $SI$ — множество произведений $si$ элементов $s\in S$ и $i\in I$.

$I$ называется правым идеалом, если: $IS\subset I$.

$I$ называется двусторонним идеалом, если выполнены оба этих условия. Также $I$ называют просто идеалом, если оно является левым или правым идеалом $S$.

В произвольной полугруппе $S$ для любого непустого подмножества $R\subset S$ произведение $RS$ является правым идеалом, $SR$ — левым, а $SRS$ — двусторонним.

Тривиальными идеалами, которыми обладает любая полугруппа, являются множество, состоящее из нулевого элемента полугруппы (если он есть), и вся полугруппа.

Примеры

• Множество чётных чисел образует двусторонний идеал полугруппы натуральных чисел относительно операции умножения $(\mathbb {N} ,\cdot )$. Это следует из того факта, что чётное число умноженное на любое другое будет чётным.

• Множество константных функции — двусторонний идеал полугруппы $F$ всех вещественных функций относительно операции композиции:

Пусть $C$ — множество всех константных функций (то есть для любой $c\in C$, значение $c(x)$ не зависит от $x\in \mathbb {R}$).

Чтобы множество $C$ было двусторонним идеалом $F$, оно должно быть одновременно и левосторонним и правосторонним идеалом $F$.

1. $C$ — левосторонний идеал $F$, так как

   $\forall f\in F,\forall c\in C:fc=f(c(x))=f(const)=const\in C$

2. $C$ — правосторонний идеал, так как

   $\forall f\in F,\forall c\in C:cf=c(f(x))=const\Rightarrow CF\subset C$

• Пусть $S$ — подмножество всех периодических функций.
  1. $S$ является левым идеалом $F$ относительно суперпозиции. Множество значений периодической функции представляет собой периодическую последовательность ($s(x)=s(x+T)$, где $T$ — период функции), очевидно, что функция от периодической последовательности является периодической функцией: $f(s(x))=f(s(x+T))\Rightarrow \forall f\in F,\forall s\in S:fs\subset S$
  2. Но $S$ не является правым идеалом. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести один пример, когда найдутся такие $f\in F$ и $s\in S$, что условие $sf\in S$ не выполняется. Возьмем функции: $sin(x)\in S$, $x^{2}\in F$, результатом суперпозиции которых будет непериодическая функция $sin(x^{2})$.

• Пусть $(\mathrm {K} ,\cdot )$ — полугруппа всех квадратных матриц порядка $n$ относительно операции умножения, тогда множество, состоящее из матриц, у которых все элементы фиксированного столба равны $0$ образует левый идеал.

• Пусть $D$ — множество всех вырожденных матриц. Тогда $D$ — двусторонний идеал $(\mathrm {K} ,\cdot )$, так как произведение вырожденной матрицы на любую другую будет вырожденной матрицей.

Главные идеалы полугрупп

Главным идеалом (левым, правым, двусторонним) полугруппы $S$, порожденным элементом $\alpha$, называется наименьший идеал (соответственно левый, правый, двусторонний), содержащий $\alpha$.Главные левый, правый и двусторонний идеалы можно записать как:

$L=S\alpha \cup \alpha$

$R=\alpha S\cup \alpha$

$D=S\alpha S\cup \alpha S\cup S\alpha \cup \alpha$

Если в полугруппе существует нейтральный элемент $e$, то главные левый, правый, двусторонний идеалы соответственно принимают вид:

$L$ = $S\alpha$

$R$ = $\alpha S$

$D$ = $S\alpha S$

Выделим несколько главных идеалов из приведенных выше примеров:

1) Множество $I$ чётных чисел является главным двусторонним идеалом полугруппы $(N,\cdot )$. Так как каждый элемент множества $I$ представляется в виде 2$k$, то его порождающим элементом является 2.

2) Доказано, что множество константных функций $C$ есть двусторонний идеал полугруппы всех вещественных функций $F$ относительно суперпозиции. Возьмем некую константную функцию $c(x)$ за порождающий элемент. Тогда множество вида $Fc$ порождает множество $C$, так как охватывает всевозможные вещественные функции (достаточно взять множество функций вида $f(x)$ = $x$+$r$, где $r$ $\in$ $R$) откуда вытекает, что $C$ — главный левый идеал. Однако, $cF$ не порождает $C$, поэтому $C$ не является главным правым идеалом.

Литература

• Е. С. Ляпин, «Полугруппы» 1960 г.