Золотое правило Ферми ({klkmky hjgfnlk Syjbn)

Перейти к навигации Перейти к поиску

В квантовой физике золотое правило Ферми — это формула, которая использует временную теорию возмущений в нерелятивистской квантовой механике и описывает скорость перехода (вероятность перехода в единицу времени) их одного собственного состояния энергии квантовой системы к группе собственных состояний энергии в непрерывном спектре (континууме) в результате слабого возмущения. Эта скорость перехода фактически не зависит от времени (пока сила возмущения не зависит от времени) и пропорциональна силе связи между начальным и конечным состояниями системы (описываемой квадратом матричного элемента возмущения), а также плотности состояний. Золотое правило Ферми также применимо, когда конечное состояние дискретно, то есть оно не является частью континуума, если в процессе имеет место некоторая декогеренция, например релаксация или столкновение атомов, или шум в возмущении, и в этом случае плотность состояний заменяется выражением, учитывающим конечное время жизни.

История названия

[править | править код]

Хотя правило названо в честь Энрико Ферми, большая часть работы, приведшей к формуле, принадлежит Полю Дираку, который двадцатью годами ранее сформулировал практически идентичное уравнение, включающее три компоненты константы, матричный элемент возмущения и разницу энергий[1][2]. Это название ему присвоили потому, что из-за важности формулы Ферми назвал его «золотым правилом № 2»[3].

В большинстве случаев термин «золотое правило Ферми» относится к «золотому правилу № 2», но «золотое правило № 1» имеет аналогичный вид и учитывает вероятность непрямых переходов в единицу времени[4].

Золотое правило Ферми описывает систему, которая первоначально находится в собственном состоянии. невозмущённого гамильтониана H0 и рассматривает влияние возмущающего гамильтониана H' применённого к системе. Если H' не зависит от времени, система переходит только в те состояния континуума, которые имеют ту же энергию, что и начальное состояние. Если H' зависит синусоидально от времени (то есть является гармоническим возмущением) с угловой частотой ω, то происходит переход в состояния с энергиями, отличающимися на ħω от энергии исходного состояния.

В обоих случаях вероятность перехода в единицу времени из исходного состояния к набору конечных состояний по существу является постоянной величиной. В первом приближении она определяется выражениемгде  — матричный элементобозначениях бра-кета) возмущения H' между конечным и начальным состояниями, и  — плотность состояний (количество состояний континуума, разделённое на элемент  — бесконечно малый интервал энергий в диапазоне от до ) при энергии из конечных состояний. Эту вероятность перехода также называют «вероятностью распада» и она связана с обратной величиной среднего времени жизни. Таким образом, вероятность нахождения системы в состоянии пропорциональна .

Стандартный способ вывода уравнения — используя теорию возмущений, зависящую от времени, перейти к пределу поглощения в предположении, что время измерения намного больше, чем время, необходимое для перехода[5][6].

Только величина матричного элемента входит в золотое правило Ферми. Однако фаза этого матричного элемента содержит отдельную информацию о переходном процессе. Она появляется в выражениях, которые дополняют золотое правило в подходе к переносу электронов, основанном на квазиклассическом уравнении Больцмана[7].

Хотя золотое правило обычно формулируется и выводится в терминах, приведённых выше, волновая функция конечного состояния (континуума) часто описывается довольно расплывчато и неправильно нормируется (и нормализация используется при выводе). Проблема в том, что для создания континуума не согласуется с пространственными ограничениями, что обязательно приводит к дискретизации спектра, и поэтому волновые функции континуума должны иметь бесконечную протяжённость, а это, в свою очередь, означает, что нормировка бесконечна, а не единица. Если взаимодействия зависят от энергии состояния континуума, а не от каких-либо других квантовых чисел, то волновые функции континуума обычно нормируют с энергией помеченной , используя нормировку на дельта-функцию , где  — дельта-функция Дирака, и коэффициент квадратного корня из плотности состояний включается в [8]. В этом случае волновая функция континуума приобретает размерность , и золотое правило теперьгде относится к состоянию континуума с той же энергией, что и дискретное состояние . Правильно нормированные волновые функции континуума для случая свободного электрона вблизи атома водорода можно найти у Бете и Солпитера[9].

 

Приложения

[править | править код]

Полупроводники

[править | править код]

Золотое правило Ферми используют для расчёта вероятности перехода электрона, возбуждённого фотоном из валентной зоны в зону проводимости в полупроводнике с прямой запрещённой зоной, а также для случаев, когда электрон рекомбинирует с дыркой и излучает фотон[10]. Для фотона с частотой и волновым вектором , где закон дисперсии света ,  — показатель преломления.

Используя кулоновскую калибровку, при которой и векторный потенциал электромагнитной волны определяется выражением , где результирующее электрическое полеДля электрона в валентной зоне гамильтониан имеет видгде  — потенциал кристалла, и  — заряд и масса электрона, а  — оператором импульса (квазиимпульса для периолдического потенциала). Здесь рассматривается процесс с участием одного фотона и первого порядка по . Результирующий гамильтониангде  — малое возмущение.

Для вертикального оптического дипольного перехода, вероятность перехода определятся используя зависящую от времени теорию возмущенийгде возмущениегде  — вектор поляризации электромагнитной волны. и  — волновая функция Блоха начального и конечного состояний. Поскольку вероятность перехода должна удовлетворять закону сохранения энергии, то в выражении для вероятности появляется формула . Из возмущения видно, что суть расчёта лежит в определении матричных элементах, показанных в скобках.

Для начального и конечного состояний в валентной зоне и зоне проводимости имеется и соответственно и если оператор возмущения не действует на спин, электрон остаётся в том же спиновом состоянии, и, следовательно, можно записать волновую функцию Блоха начального и конечного состояний в видегде  — количество элементарных ячеек с объёмом . Рассчитав с использованием этих волновых функций, и, сосредоточив внимание на излучении (фотолюминесценции), а не на поглощении, скорость перехода равнагде  — дипольный момент оптического перехода, что качественно является математическим ожиданием и в этой ситуации принимает видДля нахождения общей скорости перехода нужно суммировать по всем возможным начальным и конечным состояниям, которые удовлетворяют закону сохранения энергии (то есть интегралу зоны Бриллюэна в k -пространстве), и учитывая спиновое вырождение, что после расчёта приводит к выражениюгде  — совместная плотность состояний валентной проводимости (то есть плотность пары состояний: одно занятое валентное состояние, одно пустое состояние проводимости). В трёхмерной пространстве (3D) это равноно совместная плотность состояний различна для случаев 2D, 1D и 0D.

В общем виде золотое правило Ферми для полупроводников можно выразить в виде[11]Точно так же стационарный фототок, пропорциональный интенсивности света, равенгде  — время релаксации, и  — разность групповой скорости и распределений Ферми — Дирака между возможными начальным и конечным состояниями. Здесь определяет дипольный оптический переход. Из-за коммутационного соотношения между положением и гамильтонианом, дипольный переход и фототок можно переписать в терминах матрицы оператора положения, используя замену.

Сканирующая туннельная микроскопия

[править | править код]

В сканирующем туннельном микроскопе для определения туннельного тока используется золотое правило Ферми. Оно принимает формугде  — матричный элемент, описываюший туннелирование.

Квантовая оптика

[править | править код]

При рассмотрении переходов между энергетическими уровнями (между двумя дискретными состояниями) золотое правило Ферми записывается какгде  — плотность состояний фотона при данной энергии,  — энергия фотона, а  — угловая частота. Это альтернативное выражение основано на том факте, что существует континуум конечных (фотонных) состояний, то есть диапазон разрешённых энергий фотонов непрерывен[12].

Эксперимент Дрексхаге

[править | править код]
Как диаграмма направленности, так и полная излучаемая мощность (которая пропорциональна скорости затухания) диполя зависят от его расстояния от зеркала.

Золотое правило Ферми предсказывает, что вероятность распада возбуждённого состояния зависит от плотности состояний. В этом можно убедиться экспериментально, измерив скорость затухания осцилляций диполя вблизи зеркала: поскольку наличие зеркала создаёт области с более высокой и низкой плотностью состояний, измеренная скорость затухания зависит от расстояния между зеркалом и диполем[13][14].

Примечания

[править | править код]
  1. Bransden, B. H. Quantum Mechanics / B. H. Bransden, C. J. Joachain. — 2nd. — Prentice Hall, 1999. — P. 443. — ISBN 978-0582356917.
  2. Dirac, P. A. M. (1 March 1927). "The Quantum Theory of Emission and Absorption of Radiation". Proceedings of the Royal Society A. 114 (767): 243—265. Bibcode:1927RSPSA.114..243D. doi:10.1098/rspa.1927.0039. JSTOR 94746. See equations (24) and (32).
  3. Fermi, E. Nuclear Physics. — University of Chicago Press, 1950. — ISBN 978-0226243658. formula VIII.2
  4. Fermi, E. Nuclear Physics. — University of Chicago Press, 1950. — ISBN 978-0226243658. formula VIII.19
  5. R Schwitters' UT Notes on Derivation Архивная копия от 4 марта 2005 на Wayback Machine.
  6. It is remarkable in that the rate is constant and not linearly increasing in time, as might be naively expected for transitions with strict conservation of energy enforced. This comes about from interference of oscillatory contributions of transitions to numerous continuum states with only approximate unperturbed energy conservation, see Wolfgang Pauli, Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000) ISBN 0486414620, pp. 150—151.
  7. N. A. Sinitsyn, Q. Niu and A. H. MacDonald (2006). "Coordinate Shift in Semiclassical Boltzmann Equation and Anomalous Hall Effect". Phys. Rev. B. 73 (7): 075318. arXiv:cond-mat/0511310. Bibcode:2006PhRvB..73g5318S. doi:10.1103/PhysRevB.73.075318. S2CID 119476624.
  8. Cohen-Tannoudji, Claude. Quantum Mechanics Vol II Chapter XIII Complement D_{XIII} / Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë. — Wiley, 1977. — ISBN 978-0471164333.
  9. Bethe, Hans. Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms / Hans Bethe, Edwin Salpeter. — Springer, Boston, MA, 1977. — ISBN 978-0-306-20022-9.
  10. Yu, Peter Y. Fundamentals of Semiconductors - Physics and Materials Properties / Peter Y. Yu, Manuel Cardona. — 4. — Springer, 2010. — P. 260. — ISBN 978-3-642-00709-5. — doi:10.1007/978-3-642-00710-1.
  11. Edvinsson, T. (2018). "Optical quantum confinement and photocatalytic properties in two-, one- and zero-dimensional nanostructures". Royal Society Open Science. 5 (9): 180387. Bibcode:2018RSOS....580387E. doi:10.1098/rsos.180387. ISSN 2054-5703. PMC 6170533. PMID 30839677.
  12. Fox, Mark. Quantum Optics: An Introduction. — Oxford : Oxford University Press, 2006. — P. 51. — ISBN 9780198566731.
  13. K. H. Drexhage; H. Kuhn; F. P. Schäfer (1968). "Variation of the Fluorescence Decay Time of a Molecule in Front of a Mirror". Berichte der Bunsengesellschaft für physikalische Chemie. 72 (2): 329. doi:10.1002/bbpc.19680720261. S2CID 94677437.
  14. K. H. Drexhage (1970). "Influence of a dielectric interface on fluorescence decay time". Journal of Luminescence. 1: 693—701. Bibcode:1970JLum....1..693D. doi:10.1016/0022-2313(70)90082-7.