Задача о мятом рубле ({g;gcg k bxmkb jrQly)
Задача о мятом рубле, или задача о салфетке Маргулиса, — задача о математике оригами, первая задача в списке задач Арнольда.
Формулировка
[править | править код]Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги в плоскую фигуру с периметром больше, чем у исходного прямоугольника? Рвать и резать бумагу нельзя.
В математически точной формулировке требуется уточнить, что значит «сложить». В зависимости от этого уточнения, ответом может быть «да», «нет» или «неизвестно».
Например, если считать, что после каждого складывания лист бумаги склеивается с собой, то несложно доказать, что при каждом складывании периметр уменьшается, в частности, его нельзя увеличить. Однако, если рассмотреть сгибание и отгибание листа, как показано на рисунке, то легко видно, что при отгибании периметр увеличивается, хотя и остаётся меньше периметра исходного квадрата. Неизвестно, можно ли увеличить периметр, пользуясь только сгибаниями и отгибаниями.
Тем не менее, если разрешить одновременно сгибать лист вдоль нескольких складок, то увеличить периметр, оказывается, можно[1]. Подобные сложные складки распространены в оригами, и именно оригамисты первыми сумели продвинуться в решении задачи. С одной стороны, в оригами часто растягивают или сжимают бумагу, что недопустимо в математической формулировке. С другой стороны, идеальная математическая «бумага» не имеет толщины, и даже большие «сэндвичи» можно свободно складывать[1].
История
[править | править код]Этот вопрос часто называют фольклорным, но, по-видимому, он был впервые сформулирован Арнольдом в 1956 году[2]. На Западе задача стала известна под названием «задача о салфетке Маргулиса».
Основной шаг в частичном решении задачи был сделан оригамистами[3]. Частичные решения были предложены Крат[4], Лэнгом[5], Ященко[6]. Наиболее полное решение было представлено Тарасовым[7].
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Антон Айзенберг. Задача о мятом рубле Архивная копия от 30 июня 2016 на Wayback Machine, Научно-популярные задачи на «Элементах»: Математика.
- ↑ В. И. Арнольд. Задача 1956-1 // Задачи Арнольда. — Фазис, 2000. — С. 2. — 454 с. — ISBN 5-7036-0060-X.
- ↑ The Margulis Napkin Problem Архивная копия от 26 октября 2009 на Wayback Machine. The geometry junkyard Архивная копия от 6 января 2010 на Wayback Machine.
- ↑ S. Krat, Approximation Problems in Length Geometry, Ph.D. thesis, Pennsylvania State University, 2005
- ↑ R. Lang, Origami Design Secrets; AK Peters, Ltd., 2003
- ↑ I. Yaschenko. Make Your Dollar Bigger Now!!! (неопр.) // Math. Intelligencer. — 1998. — Т. 20, № 2. — С. 36—40. — doi:10.1007/BF03025296.
- ↑ А. Тарасов. Решение задачи Арнольда о «мятом рубле» // Чебышевский сборник. — 2004. — Т. 5, вып. 1. — С. 174—187. Архивировано 20 августа 2014 года.
Ссылки
[править | править код]- Антон Айзенберг. Задача о мятом рубле // Элементы.ру. — 2014. — 3 марта.
- В. И. Арнольд. Задачи для детей от 5 до 15 лет. — М.: МЦНМО, 2004. — 16 с. — ISBN 5-94057-183-2.
- А. Петрунин. Плоское оригами и длинный рубль (с приложением видеоматериалов А. Тарасова) // Задачи Санкт-петербургской олимпиады школьников по математике. — 2008.
- Мятый рубль / Математические этюды
- Решение Тарасова / Математические этюды