Задача Гурса ({g;gcg Irjvg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Зада́ча Гурса́ — это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых.

Историческая справка

[править | править код]

Задача названа в честь математика Э. Гурса. В его широко известном «Курсе математического анализа» этой задаче посвящён отдельный параграф[1].

Постановка задачи

[править | править код]

Пусть в области задано гиперболическое уравнение и краевое условие. Задача: найти регулярное в области и непрерывное в замыкании решение по краевому условию.

В «Математической энциклопедии»[2] краевое условие формулируется следующим образом:

, где и — заданные непрерывно дифференцируемые функции.

В учебнике Тихонова, Самарского[3] оно формулируется немного по-другому:

, где и удовлетворяют условиям сопряжения и дифференцируемости.

Нетрудно видеть, что это задача с данными на характеристиках уравнения. Эта задача примечательна тем, что для задания решения достаточно только двух функций (ср. с начально-краевой задачей).

В «Курсе» Гурса говорится о более общем случае.

Существование решения

[править | править код]

Если функция непрерывна для всех и для любых допускает производные , которые по абсолютной величине меньше некоторого числа, то в области существует единственное и устойчивое решение.

Метод Римана

[править | править код]

Рассматривается линейный случай. Исходное уравнение принимает вид .

Вводится функция Римана , которая однозначно определяется как решение уравнения

,

удовлетворяющее условиям

где — произвольная точка.

Решение задачи Гурса в линейном случае в «Энциклопедии» дается при

Метод последовательных приближений

[править | править код]

Рассматривается два случая

Последовательно интегрируя исходное уравнение получаем аналитическую формулу

Из этой формулы следует существование и единственность решения данной задачи.

Исходное уравнение преобразуется к интегро-дифференциальному уравнению

Это уравнение решается методом последовательных приближений. Нулевое приближение подставляется в интегро-дифференциальное уравнение. Результат принимается в качестве первого приближения, которое в свою очередь подставляется в интегро-дифференциальное уравнение и т. д. Таким образом получается бесконечная последовательность . Далее доказывается сходимость данной последовательности и находится её предел . Этот предел и есть решение задачи.

Примечания

[править | править код]
  1. Э. Гурса. Курс математического анализа, том 3, часть 1. — Москва — Ленинград: Государственное Технико-Теоретическое Издательство, 1933.
  2. И. М. Виноградов. Гурса задача // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
  3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — Москва: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1977.