Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки (:kfyjnmyl,udw numyjfgl ;lx ;nvhyjvnn ukjbgl,ukw fdQkjtn)

Случай известного среднего

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\mu$ — известное среднее. Определим произвольное $\alpha \in [0,1]$ , называемое уровнем значимости и равное $1-\gamma$ (где $\gamma$ — доверительная вероятность), и построим $\alpha$ — доверительный интервал для неизвестной дисперсии $\sigma ^{2}$ .

Утверждение. Случайная величина

H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}

имеет распределение $\chi ^{2}(n)$ . Пусть $\chi _{\alpha ,n}^{2}$ — $\alpha$ -квантиль этого распределения. Тогда имеем:

\mathbb {P} \left(\chi _{{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}\right)=1-\alpha

.

После подстановки выражения для $H$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

\mathbb {P} \left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}}}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}}}\right)=1-\alpha

.

Случай неизвестного среднего

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\mu$ , $\sigma ^{2}$ — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии $\sigma ^{2}$ .