Группа антисимметрии (Ijrhhg gumnvnbbymjnn)

Группа антисимметрии в теории симметрии — группа, состоящая из преобразований, которые могут менять не только геометрическое положение объекта, но и также его некоторую двухзначную характеристику. Такой двухзначной характеристикой может быть, например, заряд (плюс-минус), цвет (чёрный-белый), знак вещественной функции, направление спина (вверх-вниз).

Группы антисимметрии называются также группами магнитной симметрии, а также группами чёрно-белой симметрии. По аналогии с этими группами вводятся группы многоцветной симметрии (Беловские группы, так как они были предложены в работах академика Н. В. Белова), в которых каждая точка объекта характеризуется уже не двухзначным, а многозначным параметром (цветом).

Содержание

Операции и элементы антисимметрии

В дополнение к обычным операциям симметрии (вращение, отражение, инверсия, трансляция и их комбинации) добавляются операции антисимметрии — вращение с изменением цвета (антиповорот), отражение с изменением цвета (антиотражение), инверсия с изменением цвета (антиинверсия), трансляция с изменением цвета (антитрансляция) и так далее. Соответственно, можно говорить и об элементах антисимметрии, которые включают в себя операции антисимметрии.

Следует также учитывать операцию, которая не меняет положение объекта, но меняет цвет — операция антиотождествления или антитождества. Группы, в которых присутствует такая операция, называются серыми, так как там в каждой точке пространства совпадают белая и чёрная часть объекта. Такие группы получаются просто добавлением операции антитождества к классической группе симметрии и их число равно числу классических групп симметрии. Сами классические группы симметрии также являются частным случаем групп антисимметрии. Наибольший интерес представляют группы, которые не являются серыми, и в которых присутствуют как элементы симметрии, так и элементы антисимметрии (группы смешанной полярности). Элементы антисимметрии в этих группах могут быть только чётного порядка, так как элементы антисимметрии нечётного порядка содержат операцию антиотождествления. Например, ось антисимметрии 3 (порядок 3) невозможна в этих группах, а инверсионная ось 3 (порядок 6) — возможна.

Последовательное выполнение двух операций антисимметрии или 2n-кратное выполнение оодной операции антисимметрии дважды меняет знак, то есть в результате знак не меняется. Таким образом, произведение двух операций антисимметрии приводит к классической операции симметрии. Поэтому групп, которые содержат только элементы и операции антисимметрии, не существует. Более того, число операций (но не элементов) антисимметрии в точечных группах антисимметрии равно числу операций симметрии в классических (одноцветных) группах.

Точечные группы антисимметрии

Хотя понятие антисимметрии применимо к любым точечным группам, обычно рассматривают кристаллографические точечные группы антисимметрии. Всего существует 58 чёрно-белых групп, 32 классических полярных групп, и 32 серых нейтральных групп. Итого, 122 точечных групп антисимметрии. Ниже дана таблица всех 122 кристаллографических точечных групп антисимметрии. Обычно для их обозначения используются символы Германа-Могена, при этом элементы антисимметрии отмечаются символом соответствующего элемента симметрии со штрихом. В таблице даны сокращённые символы.

Классические	Серые	Смешанной полярности
1	1'
1	11'	1'
2	21'	2'
m	m1'	m'
2/m	2/m1'	2/m'	2'/m	2'/m'
222	2221'	2’2'2
mm2	mm21'	m’m'2	mm’2'
mmm	mmm1'	m’m'm'	mmm'	m’m'm
4	41'	4'
4	41'	4'
4/m	4/m1'	4/m'	4'/m'	4'/m
422	4221'	4’22'	42’2'
4mm	4mm1'	4m’m'	4’mm'
42m	42m1'	42’m'	4'2m'	4'2’m
4/mmm	4/mmm1'	4/m’m'm'	4/m’mm	4'/mmm'	4'/m’m'm	4/mm’m'
3	31' = 3'
3	31'	3'
32	321'	32'
3m	3m1'	3m'
3m	3m1'	3m'	3'm'	3'm
6	61'	6'
6	61'	6'
6/m	6/m1'	6/m'	6'/m'	6'/m
622	6221'	62’2'	6’2'2
6mm	6mm1'	6m’m'	6’mm'
6m2	6m21'	6m’2'	6'm2'	6'm’2
6/mmm	6/mmm1'	6'/mmm'	6'/m’mm'	6/m’m'm'	6/m’mm	6/mm’m'
23	231'
m3	m31'	m'3'
432	4321'	4’32'
43m	43m1'	4'3m'
m3m	m3m1'	m'3'm'	m'3'm	m3m'

Стереографические проекции классических точечных групп и групп смешанной полярности.

Чёрным цветом обозначены элементы симметрии. Красным — элементы антисимметрии.

1				1	1'
2	2'			m	m'
2/m	2/m'	2'/m	2'/m'
222	2’2'2		mm2	m’m'2	mm’2'
mmm	m’m'm'	mmm'	m’m'm
4	4'			4	4'
4/m	4/m'	4'/m'	4'/m
422	4’22'	42’2'
4mm	4m’m'	4’mm'
42m	42’m'	4'2m'	4'2’m
4/mmm	4/m’m'm'	4/m’mm	4'/mmm'	4'/m’m'm	4/mm’m'
3				3	3'
32	32'			3m	3m'
3m	3m'	3'm'	3'm
6	6'			6	6'
6/m	6/m'	6'/m'	6/m'
622	62’2'	6’2'2
6mm	6m’m'	6’mm'
6m2	6m’2'	6'm2'	6'm’2
6/mmm	6'/mmm'	6'/m’mm'	6/m’m'm'	6/m’mm	6/mm’m'
23				m3	m'3'
432	4’32'			43m	4'3m'
m3m	m'3'm'	m'3'm	m3m'

Пространственные группы антисимметрии (Шубниковские группы)

Всего существует 1191 чёрно-белых групп, 230 классических полярных групп, и 230 серых нейтральных групп. Итого — 1651 Шубниковская группа.

Другие кристаллографические группы антисимметрии

Число различных кристаллографических групп антисимметрии (в скобках дано число классических групп симметрии).

периодичность	Размерность пространства
	0	1	2	3	4
0	2 (1)	5 (2)	31 (10)	122 (32)	1202 (271)
1		7 (2)	31 (7)	394 (75)
2			80 (17)	528 (80)
3				1651 (230)
4					62227 (4894)

Литература

• А. В. Шубников. Симметрия и антисимметрия конечных фигур, Изд-во АН СССР, 1951.
• А. В. Шубников, В. А. Копцик. Симметрия в науке и искусстве. Издание 2-е, переработанное и дополненное. М., 1972.
• Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992.
• Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000. (доступно on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 Архивная копия от 25 ноября 2011 на Wayback Machine)
• В. А. Копцик, Шубниковские группы. М.: Изд-во МГУ, 1966.
• А. М. Заморзаев, Теория простой и кратной антисимметрии. Кишинев: Штиинца, 1976.
• Б. К. Вайнштейн, В. М. Фридкин, В. Л. Инденбом. Современная кристаллография. том 1. М.: Наука, 1979.

Ссылки

• Теория симметрии кристаллов Архивная копия от 3 февраля 2014 на Wayback Machine
• Группы антисимметрии Архивная копия от 29 ноября 2010 на Wayback Machine
• D. B. Litvin Tables of crystallographic properties of magnetic space groups, Acta Cryst. (2008). A64, 419—424