Гомологическое многообразие (Ikbklkincyvtky bukikkQjg[ny)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Гомологическое многообразие — локально компактное топологическое пространство, которое выглядит локально как топологическое многообразие с точки зрения теории гомологий.

Большинство утверждений о гомологиях многообразий, как например двойственность Пуанкаре, допускают естественные обобщения на случай гомологических многообразий.

Определение

[править | править код]

Гомологическое G-многообразие (без границы) размерности n над абелевой группой есть локально компактное топологическое пространство с конечной -когомологической размерностью такое, что для любой точки группы гомологий

при и

Здесь есть некоторая теория гомологий, обычно сингулярные гомологии.

Если группа не уточняется, то считается .

Более общо, можно дать определение гомологического многообразия с границей, позволив локальной группе гомологий пропадать в каких-то точках, которые, конечно, образуют границу гомологического многообразия. Границa n-мерного гомологического многообразия является -мерным гомологическим многообразием (без границы).

  • Любое топологическое многообразие является гомологическим многообразием.
  • Сферическая надстройка над сферой Пуанкаре является 4-мерным гомологическим многообразием, но не многообразием.
    • Сферическая надстройка над любой гомологической сферой является гомологическим многообразием, но не всегда многообразием.
  • Двумерное гомологическое многообразие является топологическим многообразием.[1]
  • Если произведение пространств является топологическим многообразием, то каждое пространство и является гомологическим многообразием.

Примечания

[править | править код]
  1. Wilder, Raymond Louis Topology of manifolds. Reprint of 1963 edition. American Mathematical Society Colloquium Publications, 32. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1979. xiii+403 pp. ISBN 0-8218-1032-4
  • Гомологическое многообразие — статья из Математической энциклопедии. Е. Г. Скляренко
  • W. J. R. Mitchell, «Defining the boundary of a homology manifold», Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 110, No. 2. (Oct., 1990), pp. 509—513.