Голигон (Iklniku)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Пример простого 8-стороннего голигона

Голигон — это любой многоугольник, в котором все углы прямые, а длины сторон являются последовательными целыми числами (от 1 до n). Голигоны придумал (и дал им название) Ли Сэллоус[англ.], а популяризовал Александр Дьюдни[англ.] в колонке 1990 года в журнале Scientific American [1]. Вариации определения голигонов позволяют сторонам пересекаться, иметь в качестве длин сторон любые целые числа (не обязательно последовательные) и иметь углы, отличные от 90°[2].

В любом голигоне все горизонтальные стороны имеют одинаковую чётность, то же верно и для вертикальных сторон. Таким образом, число сторон n должно быть решением системы уравнений

откуда следует, что n должно делиться на 8.

Число различных голигонов (с разрешением пересечения сторон) с заданным допустимым значением n можно вычислить эффективно с помощью генерирующих функций (последовательность A007219 в OEIS). Число голигонов для допустимых значений n равно 4, 112, 8432, 909288, и т. д.[3]. Поиск числа голигонов с непересекающимися сторонами существенно более сложная задача.

Существует единственный восьмисторонний голигон (показан на рисунке). Этот голигон может замостить плоскость (с поворотом на 180 градусов, см. статью «Критерий Конвея»).

Равноугольник с последовательными длинами сторон порядка n — это замкнутый многоугольник с постоянными углами в каждой вершине, имеющий последовательные длины сторон 1, 2, …, n. Многоугольник может иметь самопересечения[4][5].

Трёхмерное обобщение голигона называется голигранником — это замкнутое односвязное тело, ограниченное гранями кубической решётки с площадями граней 1, 2, …, n для некоторого целого числа n[6]. Были найдены голигранники со значениями n, равными 32, 15, 12 и 11 (минимальное значение)[7].

Примечания

[править | править код]
  1. Dewdney, 1990, с. 118–121.
  2. Smith.
  3. Weisstein, Eric W. Golygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Sallows, 1992, с. 55–67.
  5. Sallows, Gardner, Guy, Knuth, 1991, с. 315–324.
  6. Golygons and golyhedra. Дата обращения: 4 марта 2017. Архивировано 26 марта 2015 года.
  7. Golyhedron update. Дата обращения: 4 марта 2017. Архивировано 27 ноября 2014 года.

Литература

[править | править код]