Гипотеза Сельберга о дзета-функции (Inhkmy[g Vyl,Qyjig k ;[ymg-srutenn)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Гипотеза Сельберга — математическая гипотеза о плотности нулей дзета-функции Римана ζ(1/2 + it), выдвинутая Атле Сельбергом.

Гипотеза Сельберга является усилением второй гипотезы Харди—Литтлвуда[англ.]. Сельберг выдвинул свою гипотезу, доказав гипотезу Харди—Литтлвуда.

История и формулировка

[править | править код]

В 1942 году Атле Сельберг выдвинул[1] гипотезу, что при фиксированном с условием , достаточно большом и , , промежуток содержит не менее вещественных нулей дзета-функции Римана . Сельберг доказал справедливость утверждения для случая .

Доказательство гипотезы

[править | править код]

В 1984 году А. А. Карацуба доказал гипотезу Сельберга[2][3][4].

Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при .

В 1992 г. А. А. Карацуба доказал[5], что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков , , где  — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках , длина которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени . В частности, он доказал, что для любых заданных чисел , с условием почти все промежутки при содержат не менее нулей функции . Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.

Примечания

[править | править код]
  1. Selberg, A. On the zeros of Riemann's zeta-function (неопр.) // Shr. Norske Vid. Akad. Oslo. — 1942. — № 10. — С. 1—59.
  2. Карацуба, А. А. О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой // Известия РАН. Серия математическая. : журнал. — 1984. — № 48:3. — С. 569—584.
  3. Карацуба, А. А. Распределение нулей функции ζ(1/2 + it) // Известия РАН. Серия математическая.. — 1984. — № 48:6. — С. 1214—1224.
  4. Карацуба, А. А. О нулях дзета-функции Римана на критической прямой (неопр.) // Труды МИАН. — 1985. — № 167. — С. 167—178.
  5. Карацуба, А. А. О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой // Известия РАН. Серия математическая. : журнал. — 1992. — № 56:2. — С. 372—397.