Гипотеза Зарисского (Inhkmy[g {gjnvvtkik)

Гипотеза Зарисского

Обозначим через $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{n}]$ множество всех многочленов с комплексными коэффициентами от переменных $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ . Пусть в $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{n}]$ выбрано подмножество $A$ , содержащее все константы $C$ и обладающее следующими свойствами: если $f,g\in A$ , то $f-g$ и $fg$ лежат в $A$ . Предположим, что существует такой многочлен $T\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...X_{m}]$ , что каждый элемент $f$ из $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...X_{m}]$ представляется в виде многочлена $f=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+...+a_{m}T^{m},a_{0},a_{1},...a_{m}\in A,$ , где $m$ зависит от $f$ . Гипотеза Зарисского утверждает, что найдутся такие многочлены $T_{1},T_{2},...,T_{n-1}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...X_{m}]$ , что каждый элемент $f$ из $\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...X_{m}]$ представляется в виде многочлена от $T_{1},T_{2},...,T_{n-1},T$ . Гипотеза Зарисского доказана для $n=2$ и $n=3$ . Для случая $n>3$ её никому доказать не удалось.