Гармоническая ёмкость (Igjbkuncyvtgx ~btkvm,)

Гармоническая ёмкость — характеристика множества, измеряющая способность предмета данной формы удерживать электрический заряд.

Определение

Гармоническая ёмкость $C(K)$ компактного подмножества $K\subset \mathbb {R} ^{n}$ определяется как точная нижняя грань интеграла

$C(K)=\inf _{u}\left\{\,\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}\mathrm {d} x\,\right\}$

по всем липшицевским функциям $u\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ таким, что $u(x)=1$ для любого $x\in K$ и $u(x)\to 0$ при $|x|\to \infty$.

Замечания

• Точная верхняя грань достигается для функции $u(x)$, гармонической в дополнении $\mathbb {R} ^{n}\setminus K$; отсюда название.

Свойства

• Гармоническая ёмкость монотонна по включению; то есть, если $K\subset K'$, то $C(K)\leqslant C(K')$.

Литература

• Е. Д. Соломенцев. Гармоническая емкость // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5: Слу — Я. — 1248 стб. : ил. — 150 000 экз.

См. также

• Электрическая ёмкость