Выпуклый функционал (Fdhrtldw srutenkugl)

Выпуклый функционал — функционал, являющийся выпуклой функцией, то есть, надграфик которого является выпуклым множеством.

Формально, функционал $p$, определённый на линейном пространстве $L$, называется выпуклым, если выполнено:

$p(\alpha x+\beta y)\leq \alpha p(x)+\beta p(y)\ ,\forall x,y\in L,\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1$.

Примерами выпуклых функционалов являются полунорма, норма, линейный функционал и функционал Минковского выпуклого и симметричного множества.

Если $p$ и $q$ — выпуклые функционалы, $\alpha$ — положительное число, то следующие функционалы являются выпуклыми:

• $(p+q)(x)=p(x)+q(x)$
• $(\alpha p)(x)=\alpha p(x)$
• $(p\vee q)(x)=\max(p(x),q(x))$
• Инфимальная конволюция: $(p\oplus q)(x)=\inf _{y+z=x}(p(y)+q(z))$

Теория выпуклых функционалов используется в выпуклом программировании.

Ссылки

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
• Выпуклый функционал — статья из Математической энциклопедии. В. М. Тихомиров

Литература

• Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 150 с.