Внешность (топология) (Fuyoukvm, (mkhklkinx))

Вне́шность в общей топологии — внутренность дополнения к заданному множеству. Внешняя точка заданного множества — точка внешности.

Для множества $A$ в топологическом пространстве $(X,{\mathcal {T}})$ точка $x\in X$ является внешней по отношению к $A$, если существует её окрестность $U_{x}\in {\mathcal {T}}$, не пересекающаяся с $A$, то есть $U\cap A=\varnothing$. Используемые обозначения для внешности множества $A$ — $\operatorname {ext} A$, $\operatorname {Ext} A$, $A^{\mathrm {e} }$.

Например, для интервала $(a,b)$ на вещественной прямой со стандартной топологией его внешность:

$\operatorname {ext} (a,b)=(-\infty ,a)\cup (b,\infty )$.

Внешность (будучи внутренностью) всегда открыта. Внешность внешности заданного множества — его внутренность:

$\operatorname {ext} \operatorname {ext} A=\operatorname {int} A$,

внешность внутренности данного множества совпадает с его внешностью:

$\operatorname {ext} \operatorname {int} A=\operatorname {ext} A$.

Для всякого множества $A$ объединение его внутренности, границы и внешности раздельно (состоит из непересекающихся компонент) и даёт всё топологическое пространство:

$\operatorname {int} A\uplus \partial A\uplus \operatorname {ext} A=X$,

границу множества можно выразить как дополнение к раздельному объединению его внутренности со внешностью:

$\partial A=X\setminus (\operatorname {int} A\uplus \operatorname {ext} A)$.

Литература

• Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968.
• Энгелькинг Р.. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.