Гарт Бёш родился в Майлстоуне (Саскачеван), где и начал свою хоккейную карьеру в местной юниорской хоккейной лиге в команде «Нотр-Дам Хаундс». До 1945 года он выступал в любительских командах «Реджайна Рейнджерс», «Летбридж Мейпл Лифс» и «Летбридж Бомберс». В сезоне 1945/46 он подписал свой первый профессиональный контракт с командой Американской хоккейной лиги «Питтсбург Хорнетс». В 43 матчах за новую команду он набрал 24 (15+9) очка, чем привлёк к себе внимание менеджеров «Торонто Мейпл Лифс»
Летом 1946 года Бёш подписал контракт с «Торонто» и за 4 года, проведённых в команде, выиграл 3 Кубка Стэнли. В «Мейпл Лифс» он играл обычно в паре с Биллом Барилко, с которым они образовали так называемую «Мажино лайн». В 1950 году в возрасте 29 лет Гарт Бёш завершил свою игровую карьеру.