Бидуга (>n;rig)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Рис. 1. Примеры бидуг

Бидуга́ — гладкая плоская кривая, составленная из двух круговых дуг, меньших полной окружности. Одной из дуг может быть отрезок прямой. Бидуги были предложены [1] для геометрического моделирования (построения, аппроксимации) кривых с заданными граничными точками и касательными в них. В классе бидуг эта задача имеет целое семейство решений, и требует дополнительных условий для нахождения конкретных кривых. Таковыми могут быть задание кривизны или поворота одной из дуг, фиксированная длина кривой[2], требование минимизации скачка кривизны в точке сопряжения, и т. п.

У бидуги зависимость кривизны от длины дуги монотонна (так как состоит из двух постоянных участков), поэтому бидуга является простейшей спиралью[3].

Примеры бидуг

[править | править код]

На рис. 1 показаны шесть бидуг . Точки и  — начальная и конечная точки кривой, (join) — точка гладкого сопряжения двух дуг.

Примеры 1-4 иллюстрируют короткие бидуги: они не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой, хотя могут пересекать саму хорду (бидуга 1). Обычно именно такие кривые являются объектами аппроксимации.

Примеры 5 и 6 иллюстрируют длинные бидуги: они пересекают дополнение хорды, то есть закручиваются вокруг одной из концевых точек.

У кривых 1, 2 и 6 точка является точкой перегиба: в ней кривизна меняет знак (- на + у кривых 1, 2 и + на - у кривой 6).

Кривые помещены в систему координат хорды длины , в которой координаты начальной и конечной точек равны .

Ориентированные углы наклонов касательных в точках и , измеренные относительно направления хорды , обозначены и . Так, у бидуги 1 на рис. 1 , а у бидуг 2-6 — .

Описание семейства бидуг

[править | править код]

Граничные касательные векторы у кривых 2-6 на рис. 1 одинаковы: Эти кривые являются членами однопараметрического семейства бидуг с общими касательными на концах. Всё семейство показано на нижнем фрагменте рисунка 2.

Далее основные свойства семейства бидуг с общими касательными на концах приведены по материалам статьи[4]. Параметр семейства обозначен . Обозначение бидуги в виде подразумевает фиксацию констант, то есть .

Рисунки 2, 3, 4 иллюстрируют такие семейства для различных пар

Рис. 2. Семейства бидуг с общими касательными на концах (два примера)
Рис. 3. Два семейства с общими (параллельными) касательными на концах:
Рис. 4. Семейства бидуг с или

Соотношения для углов и кривизн

[править | править код]

Углы и считаются определёнными в диапазоне : , . Построение бидуги возможно при

Введём обозначения

.

Неравенства (1) означают, что .

Кривизна первой дуги и кривизна второй дуги выражаются, как функции параметра семейства, следующими формулами:

Пусть

  • и  — поворот и длина дуги :    ;
  • и  — поворот и длина дуги :    .

Справедливы равенства

Геометрическое место точек сопряжения

[править | править код]

Точки сопряжения двух дуг расположены на окружности

Эта окружность выходит из точки под углом и проходит через точку  При (то есть при ) это прямая (рис. 3). Бидуги семейства пересекают эту окружность под постоянным углом  .

Вектор касательной к бидуге в точке сопряжения есть , где

Бидуга с минимальным скачком кривизны в точке сопряжения, реализуется при точка при этом лежит на оси ординат

Вырожденные бидуги

[править | править код]

В семействе бидуг можно выделить следующие вырожденные бидуги.

  1. Бидуга : при точка сопряжения бидуги стремится к точке , часть исчезает, превращаясь в бесконечный импульс кривизны. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду и имеющую с бидугами семейства общую касательную в конечной точке.
  2. Бидуга : стремление влечёт , часть исчезает. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду и имеющую с бидугами семейства общую касательную в начальной точке.
  3. Бидуга , где
    представляет собой разрывную бидугу, проходящую через бесконечно удалённую точку плоскости. Всегда , а неравенства (1) исключают одновременное равенство . На рисунках 2, 3 разрывные бидуги показаны красной штрих-пунктирной линией.

С учётом этих трёх вырожденных бидуг через любую точку плоскости с выколотыми полюсами и проходит единственная бидуга . Именно, через точку проходит бидуга с параметром

где .

Структура семейства

[править | править код]

В семействе бидуг выделим, в зависимости от значения параметра  следующие подсемейства невырожденных бидуг:

[4], Property 2, подсемейства и названы, соответственно, main subfamily и complementary subfamily).

На рисунках 2, 3, 4 бидуги, принадлежащие подсемействам , и показаны, соответственно, коричневым, синим и зелёным цветом.

Бидуги подсемейства  — короткие. Их кривизна либо возрастает (если ), либо убывает (если ):

(теорема В.Фогта для коротких спиралей).

Они заключены внутри линзы — области, ограниченной вырожденными бидугами и (на рисунках область линзы затемнена). Угловая ширина линзы (со знаком) равна . ГМТ (2) есть биссектриса линзы.

Бидуги подсемейства имеют противоположный (по отношению к ) характер монотонности кривизны.
Если и , то бидуги этого подсемейства — длинные. Разрывная бидуга отграничивает друг от друга бидуги подсемейств .

Подсемейство пусто, если     

Подсемейство пусто, если

Переопределение граничных углов в кумулятивном смысле. Интегрирование натурального уравнения бидуги даёт непрерывную (кусочно-линейную) функцию  — угол наклона касательной к кривой. При таком определении, непрерывном, её значения могут выйти за пределы , и значения на концах могут отличаться от на Определим, наряду с , кумулятивные версии граничных углов в виде , с учётом непрерывности Поправка к углу вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки то есть пересекает луч ; поправка к углу вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки (пересекая правое дополнение хорды до бесконечной прямой):

  • в подсемействе :    ;
  • в подсемействе :    ;
  • в подсемействе :    .

Тогда полный поворот бидуги   равен

а возрастание/убывание кривизны соответствует равенству

Так, для бидуг с возрастающей кривизной, , имеем:


  1. Bolton, K. M. Biarc curves (англ.) // Computer-Aided Design. — 1975. — Vol. 7. — P. 89—92. — doi:10.1016/0010-4485(75)90086-X. Архивировано 2 мая 2019 года.
  2. Сабитов И.Х., Словеснов А.В. Приближение плоских кривых круговыми дугами // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2010. — Т. 50, № 8. — С. 1347—1356.
  3. Курносенко А.И. Общие свойства плоских спиральных кривых // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2009. — Т. 353. — С. 93—115. — ISSN 0373-2703. [1]
  4. 1 2 Kurnosenko, A. I. Biarcs and bilens (англ.) // Computer Aided Geometric Design. — 2013. — Vol. 30, no. 3. — P. 310—330. — doi:10.1016/j.cagd.2012.12.002. [2]

Литература

[править | править код]
  • Nutbourne, A. W.; Martin, R. R. Differential geometry applied to curve and surface design. Vol.1: Foundations (англ.). — Ellis Horwood, 1988. — ISBN 013211822X.