Воспитанник школы минского хоккея, карьеру начинал в команде «Юность-Минск» в 1998 году. До 2001 года выступал за этот клуб в Восточноевропейской хоккейной лиге, после чего перебрался в минский «Керамин». В составе «Керамина» выиграл чемпионат и кубок страны в сезоне 2001/2002, успешно проведя два последующих сезона в команде (две серебряных медали чемпионата Белоруссии и два финала кубка Белоруссии).
В сезоне 2005/2006 Андрей Башко очутился в новокузнецком «Металлурге»[1], за новокузнецкую команду провёл 26 игр. По окончании сезона Башко вернулся на родину, перейдя в столичное «Динамо». В сезоне 2006/2007 ему удалось стать во второй раз в карьере чемпионом Белоруссии, а по окончании сезона 2007/2008 Башко снова отправился в Россию выступать в новообразованном чемпионате Континентальной хоккейной лиги, на этот раз в составе хабаровского «Амура»[2].
В сезоне 2008/2009 Андрей провёл 32 игры за хабаровчан, забросив одну шайбу и отдав четыре голевые передачи. Однако его выступление было омрачено полученной в начале сезона травмой после попадания шайбы в голову[3]. Восстановление после травмы завершилось в январе 2009 года[4]. В 2009 году он провёл ещё несколько матчей в КХЛ уже в составе минского «Динамо», а в августе 2009 года был отправлен в «Шахтёр» из Солигорска, фарм-клуб минчан[5]. С декабря 2009 года Андрей возобновил регулярные выступления за минских динамовцев[6]. А уже в 2011 году оставил КХЛ и сконцентрировался на выступлении в чемпионате Беларуси. За следующие пять лет Башко дважды стал бронзовым и серебряным призером белорусской экстралиги, а также выиграл Кубок Беларуси. Последние два года Андрей отыграл в Кременчуге и Абудаби Стормс и в возрасте 36 лет завершил карьеру игрока.
В сборной Беларуси Андрей сыграл 15 игр на чемпионатах мира, набрав два очка за счёт двух голевых передач, а также ещё три игры в рамках олимпийской квалификации к Играм 2006 года в Турине (забросил две шайбы). Выступал на молодёжных чемпионатах мира 2000, 2001 и 2002 годов (16 игр), на юношеском первенстве мира 2000 года (6 игр, две голевые передачи).
Беларусь
.svg){kind=small}