Арифметическая производная (Gjnsbymncyvtgx hjkn[fk;ugx)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Арифметическая производная (производная Лагариаса, числовая производная) — функция, определённая для целых чисел, основанная на факторизации целых чисел, таким образом, что для неё действует аналог правила произведения для производных. Стандартным обозначением для натурального числа  является ; оно определяется следующим образом:

Значения для первых 10000 значений [1]
  • ,
  • для любого простого числа ,
  • для любых (правило произведения).

Область определения может быть расширена на целые числа: пользуясь тем фактом, что , устанавливается, что :

,

таким образом, для любого целого :

.

Для арифметической производной также применимо правило производной частного двух функций (что позволяет расширить область определения до рациональных чисел):

;

отсюда следует:

Также применимо и правило производной степени функции:

для любого целого числа и ,
для любого простого числа и любого целого числа [2],
для любого простого числа .

Примечания

[править | править код]
  1. последовательность A003415 в OEIS
  2. Arithmetic derivative - OeisWiki. oeis.org. Дата обращения: 24 мая 2022. Архивировано 24 мая 2022 года.