Альтернативность (Gl,myjugmnfukvm,)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Альтернативность (бинарная ассоциативность) — свойство бинарной операции , являющееся ослабленным вариантом ассоциативности: для любых элементов

  •  — правая альтернативность,
  •  — левая альтернативность.

Всякая ассоциативная операция является альтернативной; обратное в общем случае неверно: например, умножение октонионов альтернативно, но не ассоциативно.

Во всякой магме, пара элементов которой порождает ассоциативную подмагму, бинарная операция альтернативна. Обратное в общем случае неверно, но в случае неассоциативных колец из альтернативности кольца следует ассоциативность порождённых каждой парой элементов подколец (теорема Артина).

Исторически первый пример альтернативной структуры — числа Кэли, образующие альтернативное тело; важные приложения в физике имеются у альтернативных алгебр.

Другой вариант ослабления ассоциативности — степенная ассоциативность. Иногда это свойство считается более слабым, чем альтернативность, поскольку при некоторых дополнительных условиях из альтернативности следует степенная ассоциативность, но в общем случае это не так: например, для магмы из элементов с альтернативным умножением, введённым следующим образом:

  • кроме ,
  • ,

степенная ассоциативность не выполняется:

.

Литература

[править | править код]
  • Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Мир, 1970. — 162 с.
  • Кон П. Универсальная алгебра. — Москва: Мир, 1968. — 351 с.
  • Альтернативные кольца и алгебры — статья из Математической энциклопедии. К. А. Жевлаков