Алгоритм Нарайаны (Glikjnmb Ugjgwgud)

Алгори́тм Нарайа́ны — нерекурсивный алгоритм, генерирующий по данной перестановке следующую за ней перестановку (в лексикографическом порядке). Придуман индийским математиком Пандитом Нарайаной в XIV веке.

Если алгоритм Нарайаны применить в цикле к исходной последовательности из $n$ элементов $a_{1},a_{2},...,a_{n}$, упорядоченных так, что $a_{1}\leqslant a_{2}\leqslant ...\leqslant a_{n}$, то он сгенерирует все перестановки элементов множества $\{a_{1},a_{2},...,a_{n}\}$ в лексикографическом порядке.

Другой особенностью алгоритма является то, что необходимо запоминать только один элемент перестановки.

Алгоритм

• Шаг 1: найти такой наибольший $j$, для которого $a_{j}<a_{j+1}$.
• Шаг 2: увеличить $a_{j}$. Для этого надо найти наибольшее $l>j$, для которого $a_{l}>a_{j}$. Затем поменять местами $a_{j}$ и $a_{l}$.
• Шаг 3: записать последовательность $a_{j+1},...,a_{n}$ в обратном порядке.

Оценка сложности

В случае перестановки, где элементы перемешаны случайным образом, сложность алгоритма практически не зависит от количества элементов. В приведённых реализациях производится в среднем 3 сравнения элементов перестановки и 2.17 обменов.

Наилучшим является случай, когда предпоследний элемент перестановки больше последнего, тогда производится 2 сравнения и 1 обмен. Худшим является случай, когда элементы перестановки отсортированы по убыванию, и, если длина перестановки равна n, то производится n+1 сравнений и n/2+1 обменов.

В целом сложность алгоритма можно оценить как O(n).

Литература

• Knuth, D. E. The Art of Computer Programming. — Addison-Wesley, 2005. — Vol. 4. — ISBN 0-201-85393-0.