Алгебра Темперли — Либа (GliyQjg Mybhyjln — LnQg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Алгебра Темперли — Либа — алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер-матрицы[англ.]. Открыта Невиллом Темперли[англ.] и Эллиотом Либом. Алгебра применяется в статистической механике, в теории интегрируемых моделей[англ.], имеет отношение к теории узлов и группам кос, квантовым группам и подфакторам алгебр фон Неймана.

Определение

[править | править код]

Пусть  — коммутативное кольцо (чаще всего — поле вещественных чисел), в котором зафиксирован элемент . Алгеброй Темперли — Либа называется -алгебра образованная генераторами , подчиняющимися соотношениям Джонса:

  • при
  • при
  • при
  • при , таких что

можно представить как векторное пространство, с базисными векторами, каждый из которых представляет собой диаграмму в виде квадрата, на двух противоположных сторонах которого находятся по точек. Точки образуют n пар, каждая пара соединена кривой, и никакие две кривые не пересекаются. Пять базисных векторов выглядят следующим образом:

Basis of the Temperley-Lieb algebra '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'.

Умножение двух базисных элементов происходит соединением двух квадратов стык-в-стык, после каждый образовавшийся цикл даёт множитель . Например,

× = = δ .

Единичным элементом является диаграмма с n горизонтальными прямыми, а генератор  — диаграмма, в которой i-ая вершина соединена с i+1-ой, 2n − i + 1-ая точка — с 2n − i-ой точкой, а все остальные точки соединены с противоположными себе. К примеру, генераторами являются:

Generators of the Temperley-Lieb algebra '"`UNIQ--postMath-00000016-QINU`"'

Слева направо: тождественный элемент (единица) и генераторы U1, U2, U3, U4.

Соотношения Джонса можно изобразить графически:

= δ

=

=