Алгебраическая независимость (GliyQjgncyvtgx uy[gfnvnbkvm,)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Алгебраическая независимость — понятие теории расширений полей.

Пусть некоторое расширение поля . Элементы называются алгебраически независимыми, если для произвольного не равного тождественно нулю многочлена с коэффициентами из поля

.

В другом случае элементы называются алгебраически зависимыми. Бесконечное множество элементов называется алгебраически независимым, если независимым является каждое его конечное подмножество, и называется зависимым в противном случае. Определение алгебраической независимости можно распространить на случай, когда кольцо и — его подкольцо.

Алгебраическая независимость известных констант

[править | править код]

Пусть константы и известны как трансцендентные, однако неизвестно, является ли их множество алгебраически независимым над [1]. Неизвестно даже, иррационально ли [2]. Нестеренко доказал в 1996 году, что:

  • числа , и алгебраически независимы над [3];
  • числа и алгебраически независимы над ;
  • для всех положительных целых чисел , число алгебраически независимы над [4].

Подмножество поля вещественных чисел не является алгебраически независимым над полем , поскольку многочлен является нетривиальным с рациональными коэффициентами и .

Примечания

[править | править код]
  1. Patrick Morandi. Field and Galois Theory. — Springer, 1996. — P. 174. — ISBN 978-0-387-94753-2. Источник. Дата обращения: 29 мая 2022. Архивировано 8 октября 2021 года.
  2. Green, Ben (2008), "III.41 Irrational and Transcendental Numbers", in Gowers, Timothy (ed.), The Princeton Companion to Mathematics[англ.], Princeton University Press, p. 222
  3. Manin, Yu. I. Introduction to Modern Number Theory / Yu. I. Manin, A. A. Panchishkin. — Second. — 2007. — Vol. 49. — P. 61. — ISBN 978-3-540-20364-3.
  4. Nesterenko, Yuri V (1996). "Modular Functions and Transcendence Problems". Comptes rendus de l'Académie des Sciences[англ.]. 322 (10): 909—914.