Теорема Фогта (Mykjybg Skimg)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Рис. 1. Теорема Фогта (слева — в оригинальной формулировке)

Теорема Фогта устанавливает соотношения между граничными углами плоской кривой с монотонно изменяющейся кривизной (спиральной дуги) в зависимости от возрастания / убывания кривизны.

Названа в честь немецкого математик Вольфганга Фогта (Wolfgang Wilhelm Vogt, 1883—1916).

Формулировка В. Фогта

[править | править код]

В оригинальной статье[1] (Satz 12) теорема сформулирована так:

Пусть и  – две последовательные точки пересечения кривой с монотонной кривизной и прямой ,  и  — углы между хордой и касательными лучами в точках  и , лежащими с той же стороны от , что и дуга . Тогда угол  больше, меньше, или равен , соответственно тому, возрастает ли кривизна от до , убывает ли, или остаётся постоянной.

В статье[1] (как и в монографии[2], Theorem 3-17) рассматриваются только выпуклые кривые[3] с непрерывной кривизной . Требование выпуклости означает знакопостоянство кривизны (отсутствие у кривой точки перегиба). По сути, в этой формулировке речь идёт об абcолютных величинах кривизны и углов . Другие доказательства этой теоремы в тех же предположениях даны в статьях[4], [5], [6].

Теорему иллюстрирует левая колонка рисунка 1.


Модифицированная формулировка теоремы

[править | править код]

Модифицированная версия теоремы Фогта (см.[7], теорема 1)

  • рассматривает углы и как ориентированные, измеренные относительно направления хорды ;
  • формулируется с учётом естественного знака кривизны (в смысле где  — угол наклона касательной к кривой);
  • не требует непрерывности и знакопостоянства кривизны;
  • распространяется не только на выпуклые спиральные дуги, но и на все короткие спирали — те, которые не закручиваются вокруг концевых точек, то есть не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой (хотя могут пересекать саму хорду, как кривая на рис. 1).

Формулировка:

Пусть  — кривизна короткой спирали в начальной точке ,  — её кривизна в конечной точке . Тогда

или, подробнее, для случаев возрастающей и убывающей кривизны,

Правая колонка рисунка 1 иллюстрирует модифицированную версию теоремы Фогта (для случая убывающей кривизны). К примеру, кривые и на рис. 1 одинаковы и имеют отрицательную убывающую кривизну: . Неравенства Фогта, подразумевают что, с учётом знаков кривизн и ориентированных углов, означает или в соответствии с (1).

Отразив кривые 4-7 симметрично относительно хорды (что влечёт смену знаков у ), получим примеры с возрастающей кривизной.

Геометрический смысл суммы

[править | править код]
Рис. 2. Линза спиральной дуги AB

Пусть по короткой спирали движется точка от к Для каждого положения подвижной точки построим круговую дугу (рис. 2). Угол наклона касательной к этой дуге в точке обозначим .

  • Функция строго монотонна;
  • Дуги заметают линзу — область, ограниченную двумя круговыми дугами, опирающимися на хорду , одна из которых имеет со спиралью общую касательную в точке , вторая — в точке
  • Любая короткая спираль с граничными углами и заключена внутри линзы (теорема 2 в[7]).
  • Сумма равна по модулю угловой ширине линзы, а её знак соответствует возрастанию/ убыванию кривизны.

Обобщение теоремы

[править | править код]
Рис. 3.

Дальнейшее обобщение теоремы Фогта касается сколь угодно закрученных спиралей, для чего углы переопределяются в кумулятивном смысле, как «углы, помнящие свою историю».

Рассмотрим на спирали длины точку , движущуюся от к . Для достаточно малой (короткой) дуги значения граничных углов и , измеренных относительно направления подвижной хорды близки к нулю, и при удалении точки от они могут достичь значений Договоримся о сохранении непрерывности функций и при достижении значений, кратных  Обозначим

Так, на рис. 3 угол достигает значения , когда точка достигает положения , после чего .

В статье[8] (теорема 1) показано, что сумма есть монотонная функция длины дуги, возрастающая или убывающая как и кривизна . Функция строго монотонна, за исключением начального участка постоянной кривизны (если таковой имеется), в пределах которого Тем самым формулировка (1) распространяется и на длинные спирали в виде

Связанные утверждения[8]:

Обратная теорема

[править | править код]

В качестве утверждения, обратного теореме Фогта, А. Островский формулирует условия, допускающие существование (выпуклой) спиральной дуги с заданными граничными углами[6]. В «ориентированном» варианте они принимают вид неравенств (2).

В[2] (theorem 3-18) сформулированы усиленные условия для случая, когда дополнительно к углам заданы значения граничных радиусов кривизны.

В[7] (теорема 3) эти условия распространены на короткие (и не только выпуклые) спирали: Для существования короткой спирали отличной от бидуги, с граничными углами и кривизнами необходимо и достаточно выполнения условий (2) и неравенства , где

Если спираль является бидугой, то


Задача построения спиральной дуги с заданными граничными условиями на концах в последние десятилетия активно обсуждается в CAD-приложениях (см., например, статьи[9] и[10]).

Ссылки и примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Vogt W. Über monotongekrümmte Kurven // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1914. — № 144. — С. 239—248.
  2. 1 2 Guggenheimer H.W. Differential geometry. — New York: Dover Publications, 1977. — С. 48. — ISBN 0-486-63433-7.
  3. …то есть такие, что дуга и её хорда образуют выпуклую фигуру.
  4. Katsuura S. Ein neuer Beweis des Vogtschen Satzes // Tohoku Mathematical Journal. — 1940. — Т. 47. — С. 94—95.
  5. Hirano K. Simple proofs of Vogt's theorem // Tohoku Mathematical Journal. — 1940. — Т. 47. — С. 126—128.
  6. 1 2 Ostrowski A. Über die Verbindbarkeit von Linien- und Krümmungselementen dürch monoton gekrümmte Kurvebogen // Enseignement Math., Ser.2. — 1956. — № 2. — С. 277—292.
  7. 1 2 3 Курносенко А.И. Короткие спирали // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2009. — С. 34—43. [1]
  8. 1 2 Курносенко А.И. Длинные спирали // Записки научных семинаров ПОМИ. — 2009. — С. 44—52. [2]
  9. Goodman T.N.T., Meek D.S., Walton D.J. An involute spiral that matches G2 Hermite data in the plane (англ.) // Computer Aided Geometric Design. — 2009. — Vol. 26, no. 7. — P. 733—756. — doi:10.1016/j.cagd.2009.03.009. Архивировано 5 сентября 2019 года.
  10. Kurnosenko A.I. Two-point G2 Hermite interpolation with spirals by inversion of hyperbola (англ.) // Computer Aided Geometric Design. — 2010. — Vol. 27, no. 6. — P. 474—481. — doi:10.1016/j.cagd.2010.03.001. Архивировано 5 сентября 2019 года.